Flächendiagramme sind hier nicht beliebt. Es ist schwer, sie richtig zu deuten, und allzu leicht, sie falsch zu verstehen. Wir haben einen kleinen Test eingerichtet, an dem man das ausprobieren kann. Noch leichter ist es, Flächendiagramme als ihr Urheber zu vermurksen. Zum Beispiel dann, wenn man seine Kreise mit Excel zieht. Dort wird nämlich angeboten, Kreisflächen so zu malen, dass die Werte, die sie repräsentieren sollen, proportional zum Durchmesser sind. Das ist natürlich falsch. Die Werte müssen proportional zur Fläche sein.

Wohin das führt, zeigt eine Grafik von JP Morgan. Sie bewegte bereits die Leser der Financial Times online, Fans von ET und andere.

Geteiltes Leid verdoppelt: JP Morgan sieht freiwillig schlechter aus, damit die anderen noch schlechter aussehen. Zum Vergrößern anklicken.

Die Manipulation ist nicht ganz einfach zu durchschauen. Auf den ersten Blick nämlich scheint es, als hätte sich JP Morgan selbst geschadet. Daher der Reihe nach.

JP Morgan ist geschrumpft. Blau geteilt durch grün, beziehungsweise 2007 geteilt durch 2009, beziehungsweise 165 geteilt durch 68 ist 2,4. JP Morgan war in 2007 also um den Faktor 2,4 größer. Die blaue Fläche ist aber um den Faktor 6,8 größer als die grüne. Hoppla, JP Morgan übertreibt die eigene Schrumpfung. Wie stark, verdeutlicht diese Grafik:

Links und falsch: der Durchmesser repräsentiert die Werte.
Rechts und richtig: die Fläche repräsentiert die Werte.

Wieder einmal sehen wir: Dass die rechte Grafik stimmt, sieht man so wenig, wie dass die linke falsch ist. Weil wir Flächen einfach nicht gut schätzen können.

Zurück zu JP Morgan. Was JP Morgan sich antut, tut sie naturgemäß auch den Branchenkollegen an. Aber: Der Trick mit dem Durchmesser wirkt sich ganz unterschiedlich aus. Je größer der relative Verlust, desto mehr Fläche „verdampft“.

Malt man Kreise um Strecken, deren Längen die Wertverhältnisse korrekt wiedergeben, so ist das Flächenverhältnis der Kreise das Quadrat des Längenunterschieds der Strecken. Daher: Bei falsch gemalten Flächen ist die Verzerrung quadratisch. Kleine Differenzen werden geschönt, große überbetont.

Finden Sie das alles ziemlich kompliziert? Ich auch. So wäre es auch gegangen:

So sehen die Daten als grafische Tabelle aus.

Übrigens: Archimedes hat die Gesetze des Kreises entdeckt. Es half nichts. Am Ende wurde er falsch verstanden und dafür von einem aufgebrachten Römer erschlagen.

Sehen wir uns das Beispiel aus dem Economist an. Ohne lange zu überlegen nehmen wir intuitiv an, dass uns die Grafik unter anderem zeigen will, dass sich der Wert von 2005 auf 2006 fast verdoppelt hat. Genau das nämlich suggeriert der Vergleich der Säulenhöhen. Denn die Säule für 2006 ist um das 1,7-fache höher als die für 2005.

The Economist 389 (2008), S. 49 – übertreibt um das Siebenfache (zum Vergrößern klicken)	Lügenfaktor: So wird die Verzerrung berechnet. (zum Vergrößern klicken)

Davon kann jedoch überhaupt keine Rede sein. Der Anstieg der Werte von 83 auf 94 Mrd. US‑$ beträgt nämlich nur 13 %. Die Grafik rechts zeigt die Berechnung der größten Verzerrung, die sich der Economist hier erlaubt. Was passiert hier? Um das zu erklären, hilft ein neuer Begriff: die (von mir frei erfundene) Deutungspriorität.

Bei Balken und Säulen ist es ihre Länge bzw. Höhe, die Deutungspriorität genießt. Das Auge vergleicht die Höhen und leitet daraus die Wertunterschiede ab. Daher lautet unsere erste Regel heute: Unterschiede in den Längen müssen proportional zu den gezeigten Werten sein. Weil der Economist die Nulllinie abgeschnitten hat, sind die Säulen nicht mehr proportional zu den Werten und nichts stimmt mehr.

Sehen wir uns jetzt die gleichen Zahlen als Liniendiagramm an. Links mit Nulllinie, rechts ohne. Der Clou: Die Deutungspriorität sorgt jetzt dafür, dass wir mit unseren Erkenntnissen aus der Betrachtung der Säulengrafik hier nichts anfangen können. Bei Liniendarstellungen sind es nämlich die Liniensegmente, in denen wir nach Bedeutung fahnden. Genauer gesagt, ihre Winkel zueinander. Der Abstand zur Grundlinie hingegen interessiert nicht. Eine Verzerrung ist nicht zu entdecken.

Redesign, Skalierung 0 bis Max	Redesign, Skalierung Min bis Max

Daher unsere zweite Regel: In einer Liniengrafik müssen die Winkel proportional zu den relativen Wertveränderungen sein. Probleme mit Verzerrungen haben wir erst, wenn die Werte verschiedene Größenordnungen umfassen. Dann nämlich zeigen gleiche Winkel unter Umständen sehr unterschiedliche relative Änderungen. Ein Beispiel dazu hatten wir bereits ausführlich beleuchtet. Mit unseren Daten funktionieren zunächst einmal beide gezeigten Varianten.

Die Deutungspriorität sorgt also dafür, dass wir eine Regel, die für Säulen und Balken gilt, nicht einfach auf Linien übertragen können. Für die Unterscheidung, welche der beiden Varianten besser ist, brauchen wir weitere Kriterien. Von denen handelt einer der nächsten Beiträge.

Jon Peltier hat unsere Bemühungen verfolgt und empfahl, eine logarithmische Achse zu verwenden. Zu Recht: Bei logarithmischer Skalierung vermittelt die Grafik dasselbe wie die Zahlen. Das Original (oben rechts) ließ den Strom steiler als das Erdgas steigen. Heizöl explodierte geradezu. Jetzt hingegen stimmen die Verhältnisse. Die Steigungen der Linien passen zu den Wertänderungen um 122, 83 und 36 Prozent:

Die logarithmische Skala schafft es also, die Verhältnisse ins rechte Licht zu rücken. Warum ist das so?

Das Tigergeheimnis: Identische Nachkommastellen
Logarithmen haben viele segensreiche Eigenschaften. Eine davon sehen wir anhand dieser Tabelle, die uns die logarithmierten Werte von 10 bis 100 und von 100 bis 1000 zeigt:

Die Nachkommastellen sind paarweise identisch! Eine logarithmische Skala konstruieren wir damit, indem wir wie gewohnt unsere Y-Werte an eine senkrechte Achse schreiben, für die tatsächlichen Abstände aber ihre Logarithmen verwenden. Das führt dazu, dass auf jeder Größenordnung von Werten gleiche prozentuale Veränderungen mit derselben Steigung abgebildet werden. Konkret: Eine 50-prozentige Veränderung vom Wert 20 auf den Wert 30 wird auf der Y-Achse mit der Steigung 1,48 – 1,30 = 0,18 abgebildet. Die ebenfalls 50-prozentige Veränderung vom Wert 200 auf den Wert 300 ebenfalls (2,48 – 2,30 = 0,18). Auf einer „normalen“ Skala hingegen würden wir die Steigungen 30 – 20 = 10 und 300 – 200 = 100 vergleichen. Das Ergebnis haben wir oben rechts.

Logarithmische Skalen finden wir in Zeitungen noch seltener als normierte Darstellungen. Wie wir sehen, bedürfen sie einer Erklärung. Das und ein paar andere Gründe, die für unsere Fälle aber keine Rolle spielen, lassen manchen ihre Anwendung mit dem Ritt auf einem tollwütigen Tiger vergleichen, den man am besten nur mit verbundenen Augen und in sediertem Zustand absolviert. Das ist kompletter Unsinn.

„In order to represent comparable percentage changes, the scale is logarithmic“

Nicht nur für New-York-Times-Leser, sondern auch für Controller und Manager gilt fortan: Der tollwütige Tiger ist doch nur eine brave Hauskatze.

Der Beitrag über die Tücken der Zeitreihenanalyse bewegt die Gemüter. Ich hatte festgestellt, dass die meisten Zeitreihenvergleiche sinnlos sind, weil sie nicht zeigen, was sie zeigen sollen. Ein Vergleich der Preisentwicklung für Heizöl, Strom und Gas aus der Welt am Sonntag diente dabei als Beispiel. Sie verstößt gegen Bellas ehernes Proportionalitätsgesetz. Es besagt: Grafische Veränderungen müssen proportional zu den abgebildeten Wertveränderungen sein. Der Verstoß der Grafik gegen Bellas Dogma ist erheblich.

Absolut steigt Heizöl um 58,63 – 26,38 = 32,25 Einheiten. Erdgas steigt um 6,51 – 3,55 = 2,96 Einheiten. Grafisch steigt Heizöl damit um den Faktor 32,25/2,96 = 11 stärker als Erdgas.

Prozentual steigt Heizöl um 122 %, Erdgas um 83 %. Damit steigt Heizöl also nur um den Faktor 122/83=1,5 stärker.

Die Grafik untertreibt den Anstieg von Erdgas um den Faktor 11/1,5=7,33.

Wie erheblich, das können wir mit dem Lügenfaktor messen, mit dem wir Excels Diagrammassistenten bereits einen Teil des Untergangs der abendländischen Datenkultur in die Zellen schieben konnten. Der Diagrammassistent lügt notorisch. Er schneidet Säulen und Balken automatisch ab. Die resultierenden Unterschiede zwischen den Säulen und Balken haben mit den Wertunterschieden, die sie abbilden sollten, nur noch wenig Ähnlichkeit. Wir messen, wie lang einer der verzerrten Balken ist und wie lang er sein sollte, teilen das eine durch das andere und bekommen ein Maß für die Unter‑ oder Übertreibung.

Bei Liniengrafiken können wir dieses Prinzip auf die abgebildeten Steigungen übertragen. In der Energiepreisgrafik ist je nach Blickrichtung die Steigung des Heizöls um das Siebenfache über‑ bzw. die Steigung des Erdgases um das Siebenfache untertrieben.

Warum ist das so? Eine Liniengrafik zeigt Wertänderungen zwischen zwei Perioden durch die Steigung der sie verbindenden Linie. Wir haben gelernt, je steiler die Linie, desto größer die Steigung und eben die Wertänderung. In der Energiepreisgrafik kommen wir damit aber ins Schleudern: Heizöl steigt steiler als Erdgas und Strom. Halt! Ist das wirklich so? Wir sehen näher hin: Nur wenn wir die absoluten Werte betrachten. Aber können wir denn absolute Wertänderungen betrachten, wenn wir von unterschiedlichen Niveaus starten? Natürlich nicht. Die Steigungen sind offensichtlich nicht proportional zu den prozentualen Preisänderungen. Ja, was sagen denn dann die Steigungen aus?

Wir sehen: Steigungen müssen für prozentuale Wertänderungen reserviert bleiben. Anderenfalls verstoßen wir gegen Bellas Proportionalitätsgesetz. Im besten Fall werden wir nur schlecht verstanden, im schlimmsten Fall wirft man uns Manipulation vor.

Erste Alternative zum Tigerritt: Normierung
Eine erste Lösung des Problems ist die Normierung der Werte auf einen einheitlichen Startwert. Man teilt alle Werte einer Reihe durch den Anfangswert der Reihe. Der erste Wert jeder Reihe ist damit 100 und alle anderen Werte sind in Bezug zu diesem Startwert gesetzt. Eine sehr gute Lösung.

Zeitungen schrecken vor Normierungen im allgemeinen zurück. Man kann sich das Dilemma vorstellen, in dem ein Redakteur steckt. Jede Umformung muss vom Leser verstanden werden. Gezeigt werden nicht mehr die tatsächlichen Werte. Es wird deutlich, wie wichtig und gleichzeitig willkürlich die Wahl des Startpunktes ist. Die Darstellung der Istwerte wirkt demgegenüber unverfänglicher.

Dennoch: Wer Grafiken produziert, die Strom steiler als Erdgas steigen lassen, obwohl Strom nicht einmal halb so stark wie Erdgas stieg, der braucht dringend eine Alternative.

Teil 2: Logarithmische Skalen

* Logarithmische Skalen – Tagesgespräch zu Börse und Wirtschaft – GoldSeiten-Forum.de

Wenn grafische Elemente Wertverhältnisse illustrieren sollen, geht das mitunter schief. Die Grundregel ist einfach: Die grafischen Unterschiede müssen proportional zu den Wertunterschieden sein. Ein Blick in beliebige Magazine und Geschäftsberichte zeigt, dass diese Regel oft verletzt wird. Das passiert vielen, ohne dass sie das eigentlich wollen. Die Fälle, in denen bewusst verzerrt wird, haben wir an anderer Stelle schon behandelt.

Wie schlimm die Verzerrung werden kann, zeigt ein Beispiel aus der SportAuto (Heft 6/2007, S. 55). Ein aufwändiger und kompetenter Test von Sportreifen war mit fünf Grafiken garniert, die die tatsächlichen Wertunterschiede grafisch bis zum 13-Fachen übertrieben. Nicht zu glauben, aber wahr. (Zwei der Grafiken stehen rechts.)

Bei proportionaler Darstellung ist der längste Balken 3 % länger als der kürzeste. Bei der SportAuto sind es 41 %. Das ist eine Übertreibung um den Faktor 12 (41,5/3,4). Beim Michelin 19“ ist es sogar der Faktor 13 (24,4/1,9).

Wie kann derlei passieren, ohne dass wir Absicht unterstellen? Sehen wir uns an, wohin ein gutgläubiger Anwender gerät, wenn er die Daten der SportAuto in Excel eingibt und den Diagrammassistenten benutzt:

Das wird in Excel aus den SportAuto-Daten: Der Diagrammassistent schneidet die Achse automatisch ab und verzerrt willkürlich die optischen Wertunterschiede.

Kaum zu glauben, wie groß die Verzerrung dadurch wird: Der längste Balken ist um 93 % statt 3 % länger als der kürzeste und übertreibt damit um das 27-Fache (93,0/3,4).

Excel schneidet die Achsen ohne Hinweis darauf ab und generiert damit einen grafischen Totalschaden. Die Übertreibungen übertreffen die der SportAuto noch. Die Daten werden bis zum 27-Fachen verzerrt.

So sehen die Daten bei fairer, weil proportionaler Darstellung aus. Es geht um Zeitunterschiede von maximal 3 %. Und so sieht die Grafik jetzt auch aus.

Über alledem schwebt wiederum die Frage, was eigentlich dargestellt werden soll. Ich vermute, man wollte im Fall der Grafik zum Trockenhandling die Performanceunterschiede unabhängig von der Streckenlänge herausarbeiten. Die geringen relativen Differenzen würden sich ja zu großen absoluten Differenzen addieren, wenn nicht der 1700 m lange Handlingkurs, sondern die 20,8 km lange Hausteststrecke der SportAuto, die Nordschleife, befahren würde. Da wären 3 % bei einer Basiszeit von z. B. 8 : 23 dann schon 8 : 38.

Soll dieser Unterschied herausgearbeitet werden, geht das grafisch korrekt auch mit Excel, indem man eben die Unterschiede zu einem Referenzwert abbildet. Hier zum bestem Reifen im Trockenhandling, dem Michelin mit 46,7 sec.

Unterschiede deutlich herauszuarbeiten geht auch ohne willkürliche grafische Verzerrungen, wenn die Darstellungsidee stimmig ist und erklärt wird. Hier sind es die Differenzen zum Testsieger beim Trockenhandling, dem Michelin (18 Zoll).

Die Idee, zeichnerische Qualität an den Anfang des Erkenntnisakts zu stellen, ist auch beinahe 400 Jahre später noch gültig. Ein Beispiel gibt Bella mit einer Infografik des exzellenten Steven Romalewski. Bei ET finden wir die wunderbaren Beispiele der großartigen Megan Jaegermann.

Wo zeichnerische Elemente hingegen keine Inhalte mehr tragen, entstehen Schmuck‑ anstelle von Infografiken. Im folgenden Beispiel ist der überflüssige Firlefanz optisch so dominierend, dass das Auge ständig von der Zahlenreihe weg zu den dunkel abgesetzten Figuren springen will. Die zeichnerischen Elemente sind hier nicht nur unnötig für den Erkenntnisakt, sie behindern ihn sogar.